Akar Tak Terhingga

Akar tak terhingga atau akar tak hingga adalah salah satu materi matematika yang penyelesaiannya menggunakan aljabar. Berikut ini adalah beberapa contoh soal beserta penyelesaiannya dalam materi akar tak terhingga mulai dari yang mudah, hingga pengembangannya. :D

Soal 1

\( \sqrt { x+\sqrt { x+\sqrt { x+\sqrt { x+... }  }  }  } =10 \)

Berapakah nilai x?

Pembahasan:

Kuadratkan kedua ruas sehingga menjadi

\( x+\sqrt { x+\sqrt { x+\sqrt { x+... }  }  } =100 \)

Subtitusi persamaan \( \sqrt { x+\sqrt { x+\sqrt { x+\sqrt { x+... }  }  }  } =10 \) ke persamaan

\( x+\sqrt { x+\sqrt { x+\sqrt { x+... }  }  } =100 \) sehingga didapat

\( x+10=100 \)

\(x=90 \)

Soal 2

\( \sqrt { 20+\sqrt { 20+\sqrt { 20+\sqrt { 20+... }  }  }  } =... \)

Pembahasan:

Misalkan \( \sqrt { 20+\sqrt { 20+\sqrt { 20+\sqrt { 20+... }  }  }  } =x \)

Kuadratkan kedua ruas sehingga didapat

\( 20+\sqrt { 20+\sqrt { 20+\sqrt { 20+... }  }  } ={ x }^{ 2 }\)

Subtitusikan persamaan \( \sqrt { 20+\sqrt { 20+\sqrt { 20+\sqrt { 20+... }  }  }  } =x \) ke persamaan

\( 20+\sqrt { 20+\sqrt { 20+\sqrt { 20+... }  }  } ={ x }^{ 2 }\) sehingga didapat

\( 20+{x} ={ x }^{ 2 }\)

\({ x }^{ 2 }-{ x }-20=0\)

\(\left( x-5 \right) \left( x+4 \right) =0\)

\( {x}= -4\) tidak memenuhi, maka \( {x}=5 \) sehingga

\( \sqrt { 20+\sqrt { 20+\sqrt { 20+\sqrt { 20+... }  }  }  } =5 \)

Mengapa \( x=-4 \) tidak memenuhi?:

Perhatikan bahwa \(x=-4=\sqrt { 16 } \) dan 

\( \sqrt { 20+\sqrt { 20+\sqrt { 20+\sqrt { 20+... }  }  }  } \) tidak akan bernilai \(\sqrt { 16 }\)

Soal 3 

\(\sqrt { 3\sqrt { 24\sqrt { 3\sqrt { 24\sqrt { 3... }  }  }  }  } =...\)

Pembahasan:

Misalkan
\(\sqrt { 3\sqrt { 24\sqrt { 3\sqrt { 24\sqrt { 3... }  }  }  }  } =x \)


Kuadratkan kedua ruas sehingga
\(3\sqrt { 24\sqrt { 3\sqrt { 24\sqrt { 3... }  }  }  } ={ x }^{ 2 }\)


Kuadratkan lagi kedua ruas sehingga
\(9\times 24\sqrt { 3\sqrt { 24\sqrt { 3... }  }  } ={ x }^{ 4 }
\)

Subtitusikan persamaan  \(\sqrt { 3\sqrt { 24\sqrt { 3\sqrt { 24\sqrt { 3... }  }  }  }  } =x\) ke persamaan

\(9\times 24\sqrt { 3\sqrt { 24\sqrt { 3... }  }  } ={ x }^{ 4 }\) sehingga didapat

\(9\times 24x={ x }^{ 4 }\)

\(216x=x^4\)
\(x^4-216x=0\)
\(x\left( x-6 \right) ({ x }^{ 2 }+6x+36)=0\)

\(x=0\) tidak memenuhi, \({ x }^{ 2 }+6x+36=0\) tidak memiliki solusi real, maka yang memenuhi hanya \(x-6=0\)

\(x=6\)

Soal 4 

\(\sqrt { x\sqrt { x\sqrt { x\sqrt { x... }  }  }  } =\sqrt { 6+\sqrt { 6+\sqrt { 6+\sqrt { 6+... }  }  }  } \)

Berapa nilai \(x\)?

Pembahasan:

Misalkan \(\sqrt { x\sqrt { x\sqrt { x\sqrt { x... }  }  }  } =\sqrt { 6+\sqrt { 6+\sqrt { 6+\sqrt { 6+... }  }  }  }=a \)

\(\sqrt { x\sqrt { x\sqrt { x\sqrt { x... }  }  }  } =a\) kuadratkan kedua ruas sehingga

\(x\sqrt { x\sqrt { x\sqrt { x... }  }  }=a^2\)

Subtitusi persamaan \(\sqrt { x\sqrt { x\sqrt { x\sqrt { x... }  }  }  } =a\) ke persamaan 

\(x\sqrt { x\sqrt { x\sqrt { x... }  }  }=a^2\) sehingga didapat

\(xa=a^2\)

\(a^2-ax=0\)

\(a\left( a-x \right)=0 \)

\(a=0\) tidak memenuhi, maka \(a=x\)

\(\sqrt { 6+\sqrt { 6+\sqrt { 6+\sqrt { 6+... }  }  }  }=a\) kuadratkan kedua ruas sehingga

\(6+\sqrt { 6+\sqrt { 6+\sqrt { 6+... }  }  }  =a^2\)

Subtitusi persamaan \(\sqrt { 6+\sqrt { 6+\sqrt { 6+\sqrt { 6+... }  }  }  }=a\) ke persamaan

\(6+\sqrt { 6+\sqrt { 6+\sqrt { 6+... }  }  }  =a^2\) sehingga didapat

\(6+a=a^2\)

\(a^2-a-6=0\)

\(\left( a-3 \right) \left( a-2 \right)=0\)

\(a=2\) tidak memenuhi, maka \(a=3\)

Karena \(a=x\), maka \(a=x=3\)

Trik Cepat

\(\sqrt { a\sqrt { a\sqrt { a\sqrt { a... }  }  }  } =...\)

Pembahasan:

Misalkan \(\sqrt { a\sqrt { a\sqrt { a\sqrt { a... }  }  }  } =x\)

Kuadratkan kedua ruas sehinnga menjadi \(a\sqrt { a\sqrt { a\sqrt { a... }  }  } ={ x }^{ 2 }\)

Subtitusikan persamaan \(\sqrt { a\sqrt { a\sqrt { a\sqrt { a... }  }  }  } =x\) ke persamaan

\(a\sqrt { a\sqrt { a\sqrt { a... }  }  } ={ x }^{ 2 }\) sehingga menjadi

\(ax ={ x }^{ 2 }\)

\(x^2-ax=0\)

\(x\left( x-a \right) =0\)

\(x=0\) hanya memenuhi jika \(a=0\), dan \(x=a\) memenuhi untuk setiap bilangan \(a\)

Dari hasil diatas, dapat disimpulkan bahwa untuk setiap nilai \(a\),  \(\sqrt { a\sqrt { a\sqrt { a\sqrt { a... }  }  }  } =a\)

Contoh:

\(\sqrt { 7\sqrt { 7\sqrt { 7\sqrt { 7... }  }  }  } =7\)

\(\sqrt { 13\sqrt { 13\sqrt { 13\sqrt { 13... }  }  }  } =13\)

Cukup sekian materi akar tak terhingga, semoga bermanfaat :)